Question

已知函数f（x）=2sinxcosx，
（Ⅰ）求f(

7π

24

)的值；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（Ⅲ）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦函数公式化简，将x=

7π

24

代入计算即可求出求f（

7π

24

）的值；
（Ⅱ）将x换为-x求出f（-x），与f（x）比较即可确定出f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）根据正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx=sin2x，
则f（

7π

24

）=sin

7π

12

=sin（

π

4

+

π

3

）=sin

π

4

cos

π

3

+cos

π

4

sin

π

3

=

2

2

×

1

2

+

2

2

×

3

2

=

2 + 6

4

；
（Ⅱ）∵f（-x）=sin（-2x）=-sin2x=-f（x），
∴f（x）=sin2x是奇函数；
（Ⅲ）令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得：-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，k∈Z，
则f（x）=sin2x的单调增区间是[-

π

4

+kπ，

π

4

+kπ]，k∈Z．

点评：此题考查了二倍角的正弦，正弦函数的奇偶性，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．