Question

对于函数f（x）=x²-2x+k，k∈R，当a+b≤2时，在定义域[a，b]内值域也是[a，b]，则实数k的取值范围是（　　）

• A．(0，

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  4

  )
• B．[0， 

  5

  4

  )
• C．(1，

  5

  4

  )
• D．[0，1]

Answer 1

分析：根据题意可算出a＜1，将函数化成f（x）=（x-1）²+k-1，可得函数的图象是开口向上的抛物线，关于直线x=1对称．当b＜1时f（x）在[a，b]上递减，得f（a）=b且f（b）=a，两式联解得a+b=1且ab=k-1，得到a、b是关于t的方程t²-t+k-1=0两根，再利用根的分布规律列式，解出1＜k＜

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；当b≥1时可得f（1）=k-1=a且f（a）=a²-2a+k，结合b∈[1，2-a]化简得到k的不等式，解得0≤k≤1．最后加以综合，即可得到实数k的取值范围．

解答：解：∵f（x）=x²-2x+k=（x-1）²+k-1
∵a+b≤2，∴由a＜b得2a＜a+b≤2，即a＜1，
①当b＜1时，由函数y=f（x）的图象是开口向上的抛物线，关于直线x=1对称，
可得f（x）在区间[a，b]上递减，得f（a）=b且f（b）=a，
∴

a2-2a+k=b b2-2b+k=a

，两式相加减、化简得：a+b=1且ab=k-1
于是a、b可看成是方程t²-t+k-1=0两根，
∵方程t²-t+k-1=0有两个实数根，两个根a＜1且b＜1，
∴

△=1-4(k-1)＞0 12-1+k-1＞0

，解之得1＜k＜

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4

；
②当b≥1时，根据题意有：

a=f(1)=k-1＜1 b=f(a)=a2-2a+k 1≤b≤2-a

，
消去a、b化简得：1≤k²-3k+3≤3-k，解之可得0≤k≤1．
综上所述，可得0≤k≤

5

4

，即实数k的取值范围是[0， 

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)．
故选：B

点评：本题着重考查了一元二次方程根的分布、二次函数的图象与性质、函数的值域与最值和不等式组的解法等知识，属于中档题．