Question

已知函数，f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1 ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t[1，2]，函数g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）丨上总存在极值？

Answer 1

（Ⅰ） f′(x)=

a(1-x)

x

(x＞0)，
当a=1时，f′(x)=

1-x

x

，(x＞0)
令导数大于0，可解得0＜x＜1，令导数小于0，可解得x＜0（舍）或x＞1
故函数的单调增区间为（0，1），单调减区间是（1，+∞）
（Ⅱ） f′(2)=-

a

2

=1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3
∴g(x)=x3+(

m

2

+2)x2-2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

，
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，
∴-

37

3

＜m＜-9．