Question

【题目】设函数

(I)讨论的单调性；

（II）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】：（I）的定义域为

令

当故上单调递增．

当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．

当的两根为，

当时，；当时，；当时，，故分别在上单调递增，在上单调递减．

（II）由（I）知，．

因为，所以

又由(I)知，．于是

若存在，使得则．即．亦即

再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得

【解析】

【试题分析】（1）先对函数求导，再运用导数与函数的单调性的关系分析讨论函数的符号，进而运用分类整合思想对实数进行分三类进行讨论并判定其单调性，求出单调区间；（2）先假设满足题设条件的参数存在，再借助题设条件，推得，即，亦即

进而转化为判定函数在上是单调递增的问题，然后借助导数与函数单调性的关系运用反证法进行分析推证，从而作出判断：

解：（Ⅰ）定义域为，

，

令，

①当时，，，故在上单调递增，

②当时，，的两根都小于零，在上，，

故在上单调递增，

③当时，，的两根为，

当时，；当时，；当时，；

故分别在上单调递增，在上单调递减.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

因为.

所以,

又由（1）知，，于是，

若存在，使得，则，即，

亦即（）

再由（Ⅰ）知，函数在上单调递增，

而，所以，这与（）式矛盾，

故不存在，使得.