Question

如图所示，在棱长为2的正方体OABC—O₁A₁B₁C₁中，E、F分别为棱AB和BC上的动点，且AE=BF。

（1）求证：A₁F⊥C₁E；

（2）当O₁B⊥EF时，求点B到平面B₁EF的距离；

（3）在（2）的条件下，若M为棱BB₁上的一点，且O₁M⊥平面B₁EF。试定出点M的位置，并说明理由。

Answer 1

解（1）建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz

设，则

∴E点为（2，t，0）F（2－t，2，0）

又A₁（2，0，2），C₁（0，2，2）

∴

∴

∴即                 ……………………………5分

（2）由（1）得

又，∴，，∴E、F分别为AB、BC的中点。

设点B到平面B₁EF的距离为h。

由得                       ………………………10分

（3）由M在BB₁上，可设点M为（2，2，m）

则，

由O₁M⊥B₁EF得，

∴，m=1

∴点M为BB₁的中点                          ……………………………15分