Question

函数f（x）=x³-ax+1在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是

1. A.
   a＜3
2. B.
   a＞3
3. C.
   a≤3
4. D.
   a≥3

Answer 1

C
分析：求出f′（x），因为要求函数的增区间，所以令f′（x）大于0，然后讨论a的正负分别求出x的范围，根据函数在区间（1，+∞）上是增函数列出关于a的不等式，求出a的范围即可．
解答：f′（x）=3x²-a，令f′（x）=3x²-a＞0即x²＞，
当a＜0时，x∈R，函数f（x）=x³-ax+1在区间R内是增函数，
从而函数f（x）=x³-ax+1在区间（1，+∞）内是增函数；
当a≥0时，解得x＞，或x＜-；
因为函数在区间（1，+∞）内是增函数，所以≤1，
解得0≤a≤3，
综上所述，所以实数a的取值范围是a≤3．
故选C．
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．会利用不等式解集的端点大小列出不等式求字母的取值范围，是一道综合题．