题目内容

设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0),已知曲线y=f(x)在点(2,f(x))处在直线y=8相切.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点.
分析:(Ⅰ)求导函数,利用曲线y=f(x)在点(2,f(x))处在直线y=8相切,建立方程组,即可求得a,b的值;
(Ⅱ)f′(x)=3(x2-4)=3(x+2)(x-2),令f′(x)>0,可得函数的单调增区间;令f′(x)<0,可得函数的单调减区间,从而可的函数f(x)的极大值点与极小值点.
解答:解:(Ⅰ)求导函数,可得f′(x)=3x2-3a
∵曲线y=f(x)在点(2,f(x))处在直线y=8相切
f′(2)=0
f(2)=8
,∴
3(4-a)=0
8-6a+b=8

∴a=4,b=24
(Ⅱ)f′(x)=3(x2-4)=3(x+2)(x-2)
令f′(x)>0,可得x<-2或x>2;令f′(x)<0,可得-2<x<2
∴函数的单调增区间为(-∞,-2),(2,+∞),单调减区间为(-2,2)
∴x=-2是函数f(x)的极大值点,x=2是函数f(x)的极小值点.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,正确求导是关键.
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