Question

已知函数 ，

（Ⅰ）若在上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为，试求和的值。

（Ⅱ）若为奇函数：

（1）是否存在实数，使得在为增函数，为减函数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（2）如果当时，都有恒成立，试求的取值范围。

Answer 1

（本小题满分16分）

（Ⅰ）∵在上存在最大值和最小值，

              ∴（否则值域为R），

       ∴

              ，

又，由题意有，

              ∴；     ………………… 4分

       （Ⅱ）若为奇函数，∵，∴，

              　∴，，

       （1）若，使在（0，）上递增，在（，）上递减，则，

∴，这时，当时，，递增。

              　当时，递减。   …………………9分      

　（2）    

△＝

若△，即，则对恒成立，这时在上递减，∴。………………… 12分

若，则当时，，，

不可能恒小于等于0。

若，则不合题意。

若，则，

，∴，使，

时，，这时递增，，不合题意。

综上。      ………………… 16分