Question

（2013•崇明县一模）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E为CD中点．
（1）求证：B₁E⊥AD₁；
（2）若AB=2，求二面角A-B₁E-A₁的大小．

Answer 1

分析：（1）要证B₁E⊥AD₁，可证AD₁⊥面A₁B₁CD，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出两半平面的法向量，转化为法向量的夹角解决；

解答：（1）证明：因为AA₁D₁D为正方形，所以A₁D⊥AD₁，

A1D⊥AD1 CD⊥AD1

⇒AD1⊥面A1B1CD．
又B₁E?面A₁B₁CD⇒AD₁⊥B₁E．
（2）解：如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B₁（2，0，1），E（1，1，0），
所以

AB1

=(2，0，1)，

AE

=(1，1，0)，
设

n1

=（x，y，z）为面AB₁E的一个法向量，则

n1 • AB1 =0 n1 • AE =0

，即

2x+0+z=0 x+y+0=0

，
取面AB₁E的一个法向量为

n1

=(1，-1，-2)，
同理可取面A₁B₁E一个法向量为

n2

=(0，1，1)，
设二面角A-B₁E-A₁为α，则cosα=

|n1•n2|

|n1|•|n2|

=

3

2

，
所以α=

π

6

，即二面角A-B₁E-A₁的大小为

π

6

．

点评：本题考查二面角的求法及线面垂直的判定，常用方法：（1）判定定理；（2）向量法；使用向量时注意向量夹角与所求角之间的关系．