Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足：（a为常数，且a≠0，a≠1）
（1）若a=2，求数列{a_n}的通项公式
（2）设，若数列{b_n}为等比数列，求a的值．
（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列{c_n}前n项和为T_n，求证．

Answer 1

【答案】分析：（1）当a=2时，S_n=2a_n-2，当n≥2时，S_n=2a_n-2S_n-1=2a_n-1′-2，两式相减得到递推公式，再求解．
（2）由（1）知，，利用特殊项，必有，求出a，再回代验证，确定a的值．
（3）由（2）知，可得==，直接求和不易化简计算，先进行放缩得出，求和及证明可行．
解答：解：（1）当a=2时，S_n=2a_n-2
当n=1时，S₁=2a₁-2⇒a₁=2…（1分）
当n≥2时，S_n=2a_n-2S_n-1=2a_n-1′-2…（2分）
两式相减得到a_n=2a_n-2a_n-1，（a_n-1≠0）得到…（3分）…（4分）
（2）由（1）知，，
若{b_n}为等比数列，
则有，而，
故，解得，再将代入得成立，所以．       …（9分）
（3）证明：由（2）知，
所以==，…11
由得，
所以，…13
从而==．
即．…14
点评：本题考查数列通项公式求解，数列性质的判断，数列求和及放缩法证明不等式，灵活的考查了知识，具有一定的综合性，属于中档题，也是好题．