Question

关于x的方程2x²-tx-2=0的两根为α，β（α＜β），函数f（x）=
（1）求f（α）和f（β）的值．
（2）证明：f（x）在[α，β]上是增函数．
（3）对任意正数x₁．x₂，求证：（文科不做）

Answer 1

解：（1）由根与系数的关系得，
∴
同法得f（（4分）（文科7分）
（2）证明：∵f^/（x）=，而当x∈[α，β]时，
2x²-tx-2=2（x-α）（x-β）≤0，
故当x∈[α，β]时，f^/（x）≥0，
∴函数f（x）在[α，β]上是增函数．（9分）（文科14分）
（3）证明：，
∴，
同理．
∴（11分）
又f（两式相加得：，
即（13分）
而由（1），f（α）=-2β，f（β）=-2α且f（β）-f（α）=|f（β）-f（α）|，
∴．（14分）
分析：（1）由根与系数的关系得，，即可求出求f（α）和f（β）的值．
（2）求出函数的导函数，判断函数的导函数在[α，β]的值大于0，即可证明函数在区间[α，β]上是增函数．
（3）先判断出和的区间，根据（2）的证明，即可证的上述证明．
点评：此题主要考查函数单调性的判断即相关证明．