Question

（选做题）如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上， 且AE=AF。
（1）证明：B，D，H，E四点共圆；
（2）证明：CE平分∠DEF。

Answer 1

证：（I）在△ABC中，因为∠B=60°
所以∠BAC+∠HCA=120°
因为AD，CE是角平分线
所以∠AHC=120°
于是∠EHD=∠AHC=120°
因为∠EBD+∠EHD=180°，
所以B，D，H，E四点共圆。
（II）连接BH，则BH为∠ABC得平分线，得∠HBD=30°
由（I）知B，D，H，E四点共圆
所以∠CED=HBD=30°
又∠AHE=∠EBD=60°
由已知可得，EF⊥AD，可得∠CEF=30°
所以CE平分∠DEF。