Question

三次函数f（x）= x³－3x²－3mx+4（其中m为常数）存在极值，请回答下列问题：

（1）求f（x）的单调区间及极值；

（2）当f（x）的极大值为5时，求m的值；

（3）求曲线y=f（x）过原点的切线方程.

Answer 1

解：（1）f（x）= x³－3x²－3mx+4.

由f′（x）=3 x²－6x－3m=0，

得3 x²－6x－3m=0，Δ=36（m+1）.

由于三次函数f（x）= x³－3 x²－3mx+4有极值的条件是f′（x）=0必须有相异两实根，

∴当Δ≤0，即m≤－1时，函数无极值；

当Δ＞0，即m＞－1时，函数有极值.

设f′（x）=0的相异两实根分别为α、β，其中α=1－，β=1+（m＞－1），则x变化时，y′、y的变化情况如下表：

∴当x=1－时，f（x）_极大值=f（α）

=（1－）³－3（1－）²－3m（1－）+4

=2（m+1）－3m+2.

当x=1+时，f（x）_极小值=f（β）

=（1+）³－3（1+）²－3m（1+）+4

=－2（m+1）－3m+2.

单调增区间为（－∞，1－）及（1+，+∞）；

单调减区间为（1－，1+）.

（2）令2（m+1）－3m+2=5，

解得m=，即m=时，y=f（x）取极大值5.

（3）设曲线过点（x₁，x₁³－3x₁²－3mx₁+4）的切线过原点，此时切线斜率为k=3x₁²－6x₁－3m，切线方程为y=3（x₁²－2x₁－m）（x－x₁）+x₁³－3x₁²－3mx₁+4.

由于该切线过原点，

∴－x₁（x₁²－2x₁－m）+x₁³－3x₁²－3mx₁+4=0，即2x₁³－3x₁²－4=0，

即（x₁－2）（2x₁²+x₁+2）=0.

∴x₁=2，代入切线方程得y=－3mx.

点评：本例是导数应用的典型例题.利用导数这一工具可以解决一些利用函数单调性定义求单调区间无法解决的题目.