Question

已知函数f（x）=asinx+bcosx的图象经过点．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）当x∈R时，求f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）若x∈[0，]，是否存在实数m使函数的最大值为4？若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中函数f（x）=asinx+bcosx的图象经过点．代入构造a，b的方程，得到实数a，b的值；
（Ⅱ）由（I）中结论结合和差角公式，将函数f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，根据正弦型函数的单调性可求出f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）由x∈[0，]可得x-∈[-，]进面可求出的最大值的表达式，进而求出满足条件的m的值．
解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=asinx+bcosx的图象经过点
∴，（4分）         
解得：a=，b=-1  （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=sinx-cosx=2sin（x-）（7分）
由，
所以f（x）递减区间为（9分）
（Ⅲ）∵x∈[0，]，
∴x-∈[-，]，（10分）

∴当x-=，即x=时，
，（12分）
g（x）_max=3+m²，
∴3+m²=4，
∴m=±1所以存在实数m=±1使g（x）的最大值为4（14分）
点评：本题考查的知识点是正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，其中求出函数的解析式是解答本题的关键．