Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA=sinB•cosC，则B=

 

；若A=

π

6

，则

a

c

=

 

．

Answer 1

分析：根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，代入题中等式得到cosBsinC=0．结合sinC＞0得cosB=0，可得B=

π

2

；若A=

π

6

，由三角形内角和定理算出C=

π

3

，再根据正弦定理加以计算，可得

a

c

的值．

解答：解：∵△ABC中，B+C=π-A，
∴sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∵sinA=sinB•cosC，
∴sinBcosC+cosBsinC=sinB•cosC，
即cosBsinC=0．
又∵△ABC中，sinC＞0，
∴cosB=0，可得B=

π

2

；
若A=

π

6

，
则C=π-A-B=

π

3

，
∴sinA=

1

2

，sinC=

3

2

，
可得sinC=

3

sinA，
由正弦定理得c=

3

a，
∴

a

c

=

3

3

．
故答案为：

π

2

，

3

3

点评：本题给出三角形角之间的关系式，求角B的大小并依此求边的比值．着重考查了三角形内角和定理、两角和的正弦公式和正弦定理等知识，属于中档题．