Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1-2 a_n=0，数列{b_n}中，b_n•a_n=（-1）ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}通项公式以及前n项的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据递推公式判断出该数列是等比数列，求出公比，代入等比数列的通项公式求出；
（Ⅱ）根据题意和（Ⅰ）的结果，代入所给的式子求出{b_n}通项公式，判断出{b_n}是等比数列，代入前n项和公式进行求解．

解答：解（I）∵a_n+1-2a_n=0，∴

an+1

an

=2(n≥1)
又∵a₁=3，∴{a_n}是首项为3，公比为2的等比数列，
∴a_n=3•2^n-1（n∈N^*）
（II）∵b_n•a_n=（-1）ⁿ（n∈N^*）
∴bn=(-1)n•

1

an

=(-1)n•

1

3×2n-1

，
则{b_n}是以-

1

2

为公比，-

1

3

为首项的等比数列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=-

1

3

+

1

3×2

+…+(-1)n•

1

3×2n-1

=

- 1 3 [1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=-

2

9

[1-(-

1

2

)n]
=

2

9

[(-

1

2

)n-1]．

点评：本题考点是等比数列的通项公式以及前n项和公式的应用，主要根据所给的式子进行变形，再由等比数列的定义进行判断．