题目内容

已知O为△ABC的外心，|
AB
|=16，|
AC
|=10
2
，若
AO
=x
AB
+y
AC
，且32x+25y=25，则|
AO
|=
10
10
•
分析：若
AO
=x
AB
+y
AC
，则
AO
2=x
AB
•
AO
+y
AC
•
AO
，根据向量数量积的几何意义分别求出
AB
•
AO
，
AC
•
AO
后，得出关于x，y的代数式，利用32x+25y=25整体求解．
解答：解：如图．

若
AO
=x
AB
+y
AC
，则
AO
2=x
AB
•
AO
+y
AC
•
AO
，
O为外心，D，E为中点，OD，OE分别为两中垂线．
AB
•
AO
=|
AB
|（|
AO
|cos∠DAO）=|
AB
|×AD=|
AB
|×
1
2
×|
AB
|=16×8=128
同样地，
AC
•
AO
=
1
2
|
AC
|2=100
所以
AO
2=128x+100y=4（32x+25y）=100
∴|
AO
|=10
故答案为：10．
点评：本题考查三角形外心的性质，向量数量积的运算、向量模的求解．本题中进行了合理的转化
AO
2=x
AB
•
AO
+y
AC
•
AO
，并根据外心的性质化简求解．
练习册系列答案
相关题目
已知O为△ABC所在平面外一点，且
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，OA，OB，OC两两互相垂直，H为△ABC的垂心，试用
a
，
b
，
c
表示
OH
．
（2012•道里区三模）已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=
3
AB，若四面体P-ABC的体积为
3
2
，则该球的体积为
4
3
π
4
3
π
．
已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥面ABC，2AC=
3
AB，若四面体P-ABC的体积为
3
2
，则P、C两点间的球面距离为
3
2
п
3
2
п
．
（2012•吉林二模）已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=
3
AB，若四面体P-ABC的体积为
3
2
，则该球的体积为（　　）
已知O是△ABC的外心,P是平面ABC外的一点,且PA=PB=PC,α是经过PO的任意一个平面,则α与平面ABC所成的角为_______________.

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