Question

设C₁是以F为焦点的抛物线y²=2px（p＞0），C₂是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线．
（1）求双曲线C₂的标准方程；
（2）若C₁与C₂在第一象限内有两个公共点A和B，求p的取值范围，并求的最大值； 
（3）若△FAB的面积S满足，求p的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设双曲线C₂的标准方程，利用C₂是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线，及a²+b²=c²，即可求得双曲线C₂的标准方程；
（2）将抛物线y²=2px代入，整理可得2x²-3px+6=0，根据C₁与C₂在第一象限内有两个公共点A和B，即可确定p的取值范围，从而求出的最大值； 
（3）直线AB的方程为（x-x₁），求出F到直线AB的距离，从而可求面积S，根据，建立方程，即可求得结论．
解答：解：（1）设双曲线C₂的标准方程为
∵C₂是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线．
∴，
∵a²+b²=c²，
∴
∴双曲线C₂的标准方程为；
（2）将抛物线y²=2px代入，整理可得2x²-3px+6=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞0，y₁＞0，x₂＞0，y₂＞0），则
∴
∵+y₁y₂==
∴当且仅当p=2时，的最大值为9；
（3）直线AB的方程为（x-x₁），即x-y-×x₁+y₁=0
∴F到直线AB的距离为d=
∴=
∵，
∴（）=
∴p=．
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查抛物线与双曲线的位置关系，考查三角形面积的计算，综合性强，难度大．