Question

方程x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先分析充分性，根据二元二次方程表示圆的条件，可以求得若方程x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圆，必有m＜或m＞1，再分析必要性，
化简x²+y²+4mx-2y+5m=0可得（x+2m）²+（y-1）²=16m²+4-20m，若有m＜或m＞1，可得16m²+4-20m＞0，即方程表示圆，综合可得答案．
解答：解：根据二元二次方程表示圆的条件，
若方程x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圆，必有16m²+4-20m＞0，
解可得，m＜或m＞1，
即x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圆的充分条件是m＜或m＞1，
反之，若有m＜或m＞1，
则x²+y²+4mx-2y+5m=0?（x+2m）²+（y-1）²=16m²+4-20m，
分析可得，16m²+4-20m＞0，
则x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圆，
则x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圆的必要条件是m＜或m＞1，
综合可得，方程x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是m＜或m＞1．
点评：本题考查二元二次方程表示圆的条件，若方程x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圆，则有D²+E²-4F＞0，注意本题涉及充要条件，必须从充分性与必要性两方面考虑．