Question

椭圆

x2

4

+y2=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P在椭圆上，若P，F₁，F₂是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  3

  3

• C、

  1

  2

  或

  3

  3

• D、以上均不对

Answer 1

分析：椭圆

x2

4

+y2=1，可得a，b，c．设点M是椭圆的短轴的上顶点，则∠F₁MF₂是椭圆上的点与点F₁，F₂张开的最大角，而tan∠F2OM=

3

，可得∠F2OM=60°，可得∠F1OF2=120°，得到点P不可能是直角顶点．
当PF₂⊥x轴或PF₁⊥x轴时，把x=c=

3

代入椭圆的方程即可得出．

解答：解：如图所示，
∵椭圆

x2

4

+y2=1，∴a²=4，b²=1，c=

a2-b2

=

3

．
设点M是椭圆的短轴的上顶点，则∠F₁MF₂是椭圆上的点与点F₁，F₂张开的最大角，而tan∠F2OM=

3

，∴∠F2OM=60°，
∴∠F1OF2=120°，∴点P不可能是直角顶点．
当PF₂⊥x轴或PF₁⊥x轴时，把x=c=

3

代入椭圆的方程可得：

( 3 )2

4

+y2=1，解得y=±

1

2

．
∴|PF1|=|PF2|=

1

2

．
∴点P到x轴的距离是

1

2

．
故选：A．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，属于中档题．