Question

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁、x₂∈D，
有f（x₁● x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x﹣6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

Answer 1

（1）解：令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
（2）证明：令x₁=x₂=﹣1，有f[（﹣1）×（﹣1）]=f（﹣1）+f（﹣1）．解得f（﹣1）=0．
令x₁=﹣1，x₂=x，有f（﹣x）=f（﹣1）+f（x），
∴f（﹣x）=f（x）．
∴f（x）为偶函数．
（3）解：f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3．
∴f（3x+1）+f（2x﹣6）≤3即f[（3x+1）（2x﹣6）]≤f（64）．（*）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴（*）等价于不等式组或
或或
∴3＜x≤5或﹣≤x＜﹣或﹣＜x＜3．
∴x的取值范围为{x|﹣≤x＜﹣或﹣＜x＜3或3＜x≤5}．