Question

（2012•商丘二模）如图，AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA₁、CB₁的中点，DE⊥面CBB₁
（Ⅰ）证明：DE∥面ABC；
（Ⅱ）若BB₁=BC，求CA₁与面BB₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要证DE∥面ABC，可已由DE∥OA证得，而DE∥OA通过证明四边形AOED是平行四边形得出．
（2）作过C的母线CC₁，连接B₁C₁，连接CO₁，则∠A₁CO₁为CA₁与面BB₁C所成角，在RT△A₁O₁C中求解．

解答：（1）证明：连接EO，OA．

∵E，O分别是CB₁、BC的中点，∴EO∥BB₁，又DA∥BB₁，且DA=EO=

1

2

BB₁，
∴四边形AOED是平行四边形，即DE∥OA，DE?面ABC，
∴DE∥面ABC．
（2）解：作过C的母线CC₁，连接B₁C₁，则B₁C₁是上底面的直径，

连接A₁O₁，得A₁O₁∥AO，又AO⊥面CBB₁C₁，所以，A₁O₁⊥面CBB₁C₁，连接CO₁，则∠A₁CO₁为CA₁与面BB₁C所成角，
设BB₁=BC=2，则A1C=

22+( 2 )2

=

6

，A₁O₁=1，
在RT△A₁O₁C中，sin∠A₁CO₁=

A1O1

A1C

=

6

6

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证、转化计算能力．