题目内容
（2012•商丘二模）已知
+
=1（a＞b＞0），M，N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
分析：设P（ acosα，bsinα），求出k1和k2 的值，化简|k1|+|k2|=
≥
，可得
=1，即a=2b，再由 e=
=
=
求得结果．
| 2b |
| asinα |
| 2b |
| a |
| 2b |
| a |
| c |
| a |
| ||
| a |
| ||
| 2b |
解答：解：设P（ acosα，bsinα），∵M（a，0），则N（-a，0），∴k1=
，k2=
．
∴|k1|+|k2|=
+
=
=
=
≥
，
由题意可得
=1，即a=2b，故 e=
=
=
=
，
故选C．
| bsinα |
| acosα-a |
| bsinα |
| acosα+a |
∴|k1|+|k2|=
| bsinα |
| a(1-cosα) |
| bsinα |
| acosα+a |
| bsinα(1+cosα)+bsinα(1-cosα) |
| a(1-cosα)(1+cosα) |
| 2bsinα |
| asin2α |
| 2b |
| asinα |
| 2b |
| a |
由题意可得
| 2b |
| a |
| c |
| a |
| ||
| a |
| ||
| 2b |
| ||
| 2 |
故选C．
点评：本题考查椭圆的有关性质，涉及三角函数的运算与不等式的有关知识，有一定的难度，注意加强训练，属于中档题．
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