Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=4，BC=4，BB₁=3，M、N分别是B₁C₁和AC的中点．
（1）求异面直线AB₁与C₁N所成的角；
（2）求三棱锥M-C₁CN的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）过A作AQ∥C₁N，交A₁C₁于Q，连接B₁Q，可得∠B₁AQ（或其补角）是异面直线AB₁与C₁N所成角．在△B₁AQ中，分别求出AB₁、AQ和B₁Q的长，结合余弦定理算出cos∠B₁AQ的值，从而得到异面直线AB₁与C₁N所成的角是arccos；
（2）平面A₁B₁C₁中，过M作MH⊥A₁C₁于H．根据直三棱柱的性质结合面面垂直的性质定理，得到MH⊥平面AA₁C₁C，MH是三棱锥M-C₁CN的高．算出MH的长和△C₁CN的面积，结合三棱锥的体积公式，可得三棱锥M-C₁CN的体积．
解答：解：（1）平面AA₁C₁C中，过A作AQ∥C₁N，交A₁C₁于Q，连接B₁Q
∴∠B₁AQ（或其补角）就是异面直线AB₁与C₁N所成的角
矩形AA₁C₁C中，N是AC中点，可得Q是A₁C₁中点
Rt△AA₁B₁中，AB₁==5，同理可得AQ=
∵等腰Rt△A₁B₁C₁中，B₁Q是斜边的中线
∴B₁Q=A₁B₁=2，
△B₁AQ中，cos∠B₁AQ==＞0
∴∠B₁AQ=arccos，即异面直线AB₁与C₁N所成的角等于arccos；
（2）平面A₁B₁C₁中，过M作MH⊥A₁C₁于H
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面A₁B₁C₁，CC₁⊆平面AA₁C₁C
∴平面AA₁C₁C⊥平面A₁B₁C₁，
∵平面AA₁C₁C⊥平面A₁B₁C₁=A₁C₁，MH⊥A₁C₁，
∴MH⊥平面AA₁C₁C，MH是三棱锥M-C₁CN的高线
∵△B₁C₁Q中，M是B₁C₁中点，MH∥B₁Q
∴MH是△B₁C₁Q的中位线，得MH=B₁Q=
∵△C₁CN的面积S=CN×C₁C=×2×3=3
∴三棱锥M-C₁CN的体积V_M-C1CN=S_C1CN×MH=×3×=2
点评：本题给出特殊三棱柱，求异面直线所成角并求锥体的体积，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质，异面直线所成角的求法和锥体体积公式等知识，属于基础题．