Question

已知f(x)＝(x∈R)，在区间[－1，1]上是增函数．

(1)求实数a的值组成的集合A；

(2)设关于x的方程f(x)＝的两个非零实根为x₁、x₂，试问：是否存在实数m，使得不等式m²＋tm＋1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)(x)＝＝，∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立．①设(x)＝x2－ax－2， 　　方法一： 　　①－1≤a≤1，∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a＝1时， 　　(－1)＝0以及当a＝－1时，(1)＝0∴A＝{a|－1≤a≤1}． 　　方法二： 　　①　　或 　　∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a＝1时，(－1)＝0以及当a＝－1时，(1)＝0 　　∴A＝{a|－1≤a≤1}． 　　(Ⅱ)由＝，得x2－ax－2＝0，∵△＝a2＋8＞0∴x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两非零实根， 　　 　　x1x2＝－2，②设g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋(m2－2)， 　　方法一： 　　② 　　方法二： 　　当m＝0时，②显然不成立；当m≠0时， 　　② 　　所以，存在实数m，使不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2