Question

求满足下列关系式组的正整数解组的个数．

Answer 1

131

解析:

[解]  令，由条件知，方程化为

，即．       （1）

因，故，从而．

设．因此（1）化为

．                      （2）          

下分为奇偶讨论，

（ⅰ）当为奇数时，由（2）知为奇数．

令，，代入（2）得

．      （3）

（3）式明显无整数解．故当为奇数时，原方程无正整数解．             

（ⅱ）当为偶数时，设，由方程（2）知也为偶数．从而可设，代入（2）化简得

        ．                      （4）

由（4）式有，故，从而可设，则（4）可化为，

        ．　　　　　　　　　　　（5）

因为整数，故．                                  

又，因此

   ，得，

   ．

因此，对给定的，解的个数恰是满足条件的的正因数的个数．因不是完全平方数，从而为的正因数的个数的一半．即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

由题设条件，．而

25以内有质数9个：2，3，5，7，11，13，17，19，23．将25以内的数分为以下八组：：

，

，

，

，

，

，

，

，

从而易知

，

，

，

，

，

，

，

将以上数相加，共131个．因此解的个数共131．