Question

（2012•嘉定区三模）如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=4．
（1）求三棱ABC-A₁B₁C₁的表面积S；
（2）设E为棱BB₁的中点，求异面直线A₁E与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：（1）利用S=2S_△ABC+S_侧，可求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积S；
（2）取CC₁中点F，连结EF、A₁F．确定∠A₁EF就是异面直线A₁E与BC所成角（或其补角），在△A₁EF中，利用余弦定理可求结论．

解答：解：（1）S_△ABC=

3

4

×22=

3

，…（1分）  
S_侧=6×4=24． …（3分）
所以S=2S_△ABC+S_侧=2

3

+24．   …（5分）
（2）取CC₁中点F，连结EF、A₁F．
因为EF∥BC，所以∠A₁EF就是异面直线A₁E与BC所成角（或其补角）．…（7分）
在△A₁EF中，EF=2，A₁E=A₁F=2

2

，
cos∠A₁EF=

2

4

，…（3分）
所以∠A₁EF=arccos

2

4

…．…（11分）
所以异面直线A₁E与BC所成角的大小为arccos

2

4

．…（12分）

点评：本题考查三棱柱的表面积，考查线线角，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题．