Question

已知动点P与双曲线x²-y²=1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为-

1

3

，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

∵x²-y²=1，∴c=

2

．
设|PF₁|+|PF₂|=2a（常数a＞0），2a＞2c=2

2

，
∴a＞

2

由余弦定理有cos∠F₁PF₂
=

|PF1| 2+|PF2| 2-|F1F2| 2

2|PF1||PF2|

=

(|PF1|+|PF2|) 2-2|PF1||PF2|-|F1F2| 2

2|PF1||PF2|

=

2a 2-4

|PF1||PF2|

-1
∵|PF₁||PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=a²，
∴当且仅当|PF₁|=|PF₂|时，|PF₁||PF₂|取得最大值a²．
此时cos∠F₁PF₂取得最小值

2a 2-4

a 2

-1，
由题意

2a 2-4

a 2

-1=-

1

3

，
解得a²=3，
∴b²=a²-c²=3-2=1
∴P点的轨迹方程为

x 2

3

+y²=1．