Question

设函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的图象在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行．
（Ⅰ）求m的值与该切线方程；
（Ⅱ）若对任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，则求M的最小值；
（Ⅲ）若a≥0，b≥0，c≥0且a+b+c=1，试证明：

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

9

10

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，及函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的图象在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行，可求求m的值与该切线方程；
（Ⅱ）利用导数求解最值，要使对任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，则M≥最大值-最小值；
（Ⅲ）利用不等式间的等价转化求解，证明

x

1+x2

≤

27

50

(2x-x2)即可．

解答：（Ⅰ）解：∵f'（x）=-3x²-4mx-m²，所以f'（2）=-12-8m-m²=-5，
解得m=-1或m=-7
∵m＞-2，∴m=-1
∴f（x）=-x³+2x²-x+2
∴f（2）=-8+8-2+2=0
∴该切线方程为y=-5x+10；
（Ⅱ）解：f'（x）=-3x²+4x-1=0，解得x₁=1，x₂=

1

3

，列表如下

x	0	(0， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，1)	1
f'（x）		-		+
f（x）	2	递减	50 27	递增	2

∴函数f（x）在区间[0，1]的最小值为f（

1

3

）=

50

27

，最大值为2．
要使对任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，则M≥2-

50

27

=

4

27

∴M的最小值为

4

27

；
（Ⅲ）证明：∵f（x）=-x³+2x²-x+2=（1+x²）（2-x）
由（Ⅱ）知，当x∈[0，1]时，（1+x²） （2-x）≥

50

27

，

∴ 1 (1+x2) ≤ 27 50 (2-x)

∴

x

1+x2

≤

27

50

(2x-x2)（当x=

1

3

时取等号）
当a≥0，b≥0，c≥0且a+b+c=1时，0≤a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1

∴ a 1+a2 + b 1+b2 + c 1+c2 ≤ 27 50 [2(a+b+c)-(a2+b2+c2)]= 27 50 [2-(a2+b2+c2)]，

∵（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≤3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²≥

1

3

，
∴

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

(2-

1

3

)=

9

10

（当且仅当a=b=c=

1

3

时取等号）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查不等式的证明，用好导数是关键．