题目内容
13．
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，点B（0，$\sqrt{3}$）是椭圆E的上顶点，F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点．（1）求椭圆E的方程；
（2）已知M为椭圆E上的动点，若以点M为圆心，MF1为半径的圆与椭圆E的右准线有公共点，求△F1MF2面积的最大值；
（3）过点B作直线l1，l2，使l1⊥l2，设直线l1，l2分别交椭圆E于点P，Q，连接PQ，求证：直线PQ必经过y轴上的一个定点．
分析 （1）由e=$\frac{1}{2}=\frac{c}{a}$，b=$\sqrt{3}$，a2=b2+c2，联立解出即可得出．
（2）由椭圆的第二定义可知：|MF1|=$\frac{1}{2}{x}_{0}$+2．点M到右准线的距离d=4-x0．根据：以点M为圆心，MF1为半径的圆与椭圆E的右准线有公共点，可得|MF1|≥d，得到x0的最小值，即可得到|y0|的最大值，可得△F1MF2面积的最大值S=$\frac{1}{2}×2c×|{y}_{0}{|}_{max}$．
（3）设直线BP、BQ的直线方程分别为：y=kx+$\sqrt{3}$，y=-$\frac{1}{k}$x+$\sqrt{3}$．分别与椭圆方程联立可得点P，Q的坐标，利用点斜式即可得出．
解答 解：（1）∵e=$\frac{1}{2}=\frac{c}{a}$，b=$\sqrt{3}$，a2=b2+c2，联立解得：c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）椭圆的左右准线分别为：x=-4，x=4，F1（-1，0），设M（x0，y0）．
由椭圆的第二定义可知：$\frac{|M{F}_{1}|}{{x}_{0}-（-4）}=\frac{1}{2}$，化为：$\frac{1}{2}{x}_{0}$+2．
点M到右准线的距离d=4-x0，
∵以点M为圆心，MF1为半径的圆与椭圆E的右准线有公共点，
∴|MF1|≥d，
∴$\frac{1}{2}{x}_{0}$+2≥4-x0，解得2≥${x}_{0}≥\frac{4}{3}$．
∴${y}_{0}^{2}$=3$（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）$≤$3×[1-\frac{1}{4}×（\frac{4}{3}）^{2}]$=$\frac{5}{3}$，
取|y0|的最大值$\sqrt{\frac{5}{3}}$．
∴△F1MF2面积的最大值S=$\frac{1}{2}×2c×|{y}_{0}{|}_{max}$=1×$\sqrt{\frac{5}{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
（3）证明：设直线BP、BQ的直线方程分别为：y=kx+$\sqrt{3}$，y=-$\frac{1}{k}$x+$\sqrt{3}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k2）x2+8$\sqrt{3}$kx=0，可得xP=-$\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，yP=$\frac{-4\sqrt{3}{k}^{2}+3\sqrt{3}}{3+4{k}^{2}}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得：xQ=$\frac{8\sqrt{3}k}{3{k}^{2}+4}$，yQ=$\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}-4\sqrt{3}}{3{k}^{2}+4}$．
∴直线PQ的方程为：y-$\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}-4\sqrt{3}}{3{k}^{2}+4}$=$\frac{3（{k}^{2}-1）}{7k}$$（x-\frac{8\sqrt{3}k}{3{k}^{2}+4}）$，
令x=0，可得y=$-\frac{\sqrt{3}}{7}$．
∴直线PQ必经过y轴上的一个定点$（0，-\frac{\sqrt{3}}{7}）$．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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