Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；
（Ⅲ）若V_P-BCDE=2V_Q-ABCD，试求的值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为E是AD的中点，PA=PD，
所以AD⊥PE． …（1分）
因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE． …（2分）
因为PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE． …（4分）
（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连接OQ．…（5分）
因为O是AC中点，Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．
所以OQ∥PA． …（7分）
因为PA?平面BDQ，OQ?平面BDQ． …（8分）
所以PA∥平面BDQ． …（9分）
（Ⅲ）解：设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为h₁，h₂，
所以V_P-BCDE=S_BCDEh₁，V_Q-ABCD=S_ABCDh₂． …（10分）
因为V_P-BCDE=2V_Q-ABCD，且底面积S_BCDE=S_ABCD． …（12分）
所以，…（13分）
因为，所以． …（14分）
分析：（Ⅰ）证明AD⊥PE，AD⊥BE，利用线面垂直的判定，即可证明AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）连接AC交BD于点O，连接OQ，利用三角形中位线的性质，证明OQ∥PA，即可证明PA∥平面BDQ；
（Ⅲ）利用V_P-BCDE=2V_Q-ABCD，且底面积S_BCDE=S_ABCD，即可求得结论．
点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查棱锥的体积计算，解题的关键是正确运用线面平行、垂直的判定方法，掌握棱锥的体积公式，属于中档题．