Question

已知函数=x⁵+ax³+bx+1,当且仅当x=-1,x=1时取得极值，且极大值比极小值大4.

       (1)求a、b的值；

       (2)求的极大值和极小值.

      

Answer 1

解析：

(1) =x⁵+ax³+bx+1的定义域为R，f′(x)=5x⁴+3ax²+b.?

       ∵x=±1时有极值，?

       ∴5+3a+b=0,b=-3a-5.①?

       把①代入f′(x),得?

       f′(x)=5x⁴+3ax²-3a-5?

       =5(x⁴-1)+3a(x²-1)?

       =(x²-1)［5(x²+1)+3a］?

       =(x+1)(x-1)［5x²+(3a+5)］,?

       ∵仅在x=±1时有极值，?

       ∴5x²+(3a+5)≠0对任意x成立.?

       ∴3a+5>0.?

       ∴a>-.?

       考查、f′(x)随x的变化情况：

x	(-∞,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,+∞)
	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

       由此可知，当x=-1时取极大值，当x=1时取极小值.?

?    ∴f(-1)-f(1)=4,即［(-1)⁵+a(-1)³+b(-1)+1］-［1⁵+a·1³+b·1+1］=4.?

       整理得a+b=-3.②?

       由①②解得

       (2)∵a=-1,b=-2,?

       ∴=x⁵-x³-2x+1.?

       ∴_极大值=f(-1)=3,?

       _极小值=f(1)=-1.