题目内容

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，求f（A）的取值范围．

解：（Ⅰ）法1：∵asinB-bcosC=ccosB，
由正弦定理可得：sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB．
即sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB，
∴sin（C+B）=sinAsinB，
∵在△ABC中，A+B+C=π，即C+B=π-A，
∴sin（C+B）=sinA=sinAsinB，又sinA≠0，
∴sinB=1，即B= $\text{[math]}$ ，
则△ABC为B= $\text{[math]}$ 的直角三角形；
法2：∵asinB-bcosC=ccosB，
由余弦定理可得asinA=b• $\text{[math]}$ +c• $\text{[math]}$ ，
整理得：asinB=a，
∵a≠0，∴sinB=1，
∴在△ABC中，B= $\text{[math]}$ ，
则△ABC为B= $\text{[math]}$ 的直角三角形；
（Ⅱ）∵f（x）= $\text{[math]}$ cos2x- $\text{[math]}$ cosx+ $\text{[math]}$ =cos²x- $\text{[math]}$ cosx
=（cosx- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
∴f（A）=（cosA- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
∵△ABC为B= $\text{[math]}$ 的直角三角形，
∴0＜A＜ $\text{[math]}$ ，且0＜cosA＜1，
∴当cosA= $\text{[math]}$ 时，f（A）有最小值是- $\text{[math]}$ ，
则f（A）的取值范围是[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（Ⅰ）法1：利用正弦定理化简已知的等式，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0，可得出sinB=1，利用特殊角的三角函数值得到B为直角，即可判断出三角形ABC为直角三角形；
法2：利用余弦定理化简已知的等式，整理后根据a不为0，得到sinB=1，利用特殊角的三角函数值得到B为直角，即可判断出三角形ABC为直角三角形；
（Ⅱ）把f（x）解析式第一、三项结合，利用二倍角的余弦函数公式化简，得到关于cosx的二次函数，配方后利用二次函数的性质及余弦函数的值域，即可得到f（A）的范围．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，余弦函数的定义域与值域，以及二次函数的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．