Question

若实数m、n、p、q满足m+n=1,p+q=1,mp+nq＞1,求证:m、n、p、q中至少有一个是负数.

Answer 1

证明:假设m、n、p、q全都不是负数,即m≥0,n≥0,p≥0,q≥0,

则有mq+np≥0.               ①

又m+n=1,p+q=1,

∴(m+n)(p+q)=(mp+nq)+(mq+np)=1.

又mp+nq＞1,

∴mq+np＜0.与①矛盾.

∴假设不成立.

则原结论m、n、p、q中至少有一个是负数成立.