Question

设函数f（x）=（a-2）ln（-x）+

1

x

+2ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a≠0时，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）直接利用和式函数的求导公式求解导函数，有对数函数先求定义域，令f′（x）=0，求出极值点，利用导数研究函数的极值；
（2）判定函数当x变化时，f'（x）的变化情况，f'（x）＞0求得单调增区间，f'（x）＜0求得单调减区间，f'（x）的变化情况研究出函数的极值．

解答：解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（-∞，0）．
当a=0时，f(x)=-2ln(-x)+

1

x

，f′(x)=

-2

x

-

1

x2

=

-(2x+1)

x2

．
令f′（x）=0，解得x=-

1

2

．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

由上表知：当x＜-

1

2

时，f′（x）＞0；当x＞-

1

2

时，f′（x）＜0．
故当x=-

1

2

时，f（x）取得极大值为2ln2-2．（5分）
（Ⅱ）f′(x)=

a-2

x

-

1

x2

+2a=

(a-2)x-1+2ax2

x2

=

a(2x+1)(x- 1 a )

x2

若a＞0，令f′（x）＞0，解得：x＜-

1

2

；令f′（x）＜0，解得：-

1

2

＜x＜0．
若a＜0，①当-2＜a＜0时，-

1

2

＞

1

a

令f′（x）＞0，解得：

1

a

＜x＜-

1

2

；
令f′（x）＜0，解得：x＜

1

a

或-

1

2

＜x＜0．
②当a=-2时，-

1

2

=

1

a

，f′(x)=

-(2x+1)2

x2

≤0
③当a＜-2时，-

1

2

＜

1

a

令f′（x）＞0，解得：-

1

2

＜x＜

1

a

；
令f′（x）＜0，解得：x＜-

1

2

或

1

a

＜x＜0．
综上，当a＞0时，f（x）的增区间为(-∞，-

1

2

)，减区间为(-

1

2

，0)；
当-2＜a＜0时，f（x）的增区间为(

1

a

，-

1

2

)，减区间为(-∞，

1

a

)，(-

1

2

，0)；
当a=-2时，f（x）的减区间为（-∞，0），无增区间；
当a＜-2时，f（x）的增区间为(-

1

2

，

1

a

)，减区间为(-∞，-

1

2

)，(

1

a

，0)．（14分）

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值．