Question

已知f(x)=-

x3

3

+x2-3x+

1

3

-cosx，x∈(-∞，3]，若f（m²-sinx）≤f（m+1+cos²x）对x∈R恒成立，实数m的取值范围是

 

Answer 1

分析：先研究函数的单调性，求导判断单调性，利用单调性转化不等式，化简整理，根据其恒成立进行观察变形求出参数．

解答：解：∵f′（x）=-x²+2x-3+sinx=-（x-1）²-2+sinx＜0
故函数在定义域上是减函数．
∴，f（m²-sinx）≤f（m+1+cos²x）对x∈R恒成立，可转化为m²-sinx≥m+1+cos²x
即m²-m≥2-sin²x+sinx对x∈R恒成立，
即m²-m≥-（sinx-

1

2

）²+

9

4

恒成立
∴m²-m≥

9

4

，解得m≥

1+ 10

2

，或m≤

1- 10

2

①
又m²-sinx≤3，m²≤3+sinx，m²≤2，|m|≤

2

②
m+1+cos²x≤3，m≤2-cos²x，即m≤1      ③
综①②③得-

2

≤m≤

1- 10

2

故应填-

2

≤m≤

1- 10

2

点评：本题考点是函数的运用，考查到了求导方法研究函数的单调性利用单调性化简不等式，依据恒成立的关系求参数．本题有一定的难度．