Question

（2013•湛江二模）已知函数f（x）=x²-2x+4，数列{a_n}是公差为d的等差数列，若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）S_n为{a_n}的前n项和，求证：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

≥

1

3

．

Answer 1

分析：（1）利用函数解析式，确定a₁，a₃，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）确定{a_n}的前n项和，再利用裂项法求数列的和，即可证得结论．

解答：（1）解：a₁=f（d-1）=d²-4d+7，a₃=f（d+1）=d²+3，
又由a₃=a₁+2d，可得d=2，所以a₁=3，a_n=2n+1
（2）证明：由题意，S_n=

n(3+2n+1)

2

=n(n+2)，
所以，

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
所以，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)≥

1

2

(

3

2

-

1

1+1

-

1

1+2

)=

1

3

点评：本题考查等差数列的通项，考查裂项法求和，考查不等式的证明，属于中档题．