Question

圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为（　　）

• A、（x-1）²+（y-1）²=2
• B、（x-1）²+（y+1）²=2
• C、（x-1）²+（y-1）²=2或（x+1）²+（y+1）²=2
• D、（x-1）²+（y+1）²=2或（x+1）²+（y-1）²=2

Answer 1

分析：根据题意画出圆的方程，使圆A满足题意中的条件，分两种情况考虑，当点A在第一象限时，根据垂径定理即可得到OC的长度，根据直线y=x上点的横纵坐标相等，得到圆心A的坐标，根据勾股定理求出OA的长度即为圆A的半径，根据求出的圆心坐标和半径写出圆的标准方程；当点A′在第三象限时，同理可得圆心坐标和半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．

解答：解：画出圆A满足题中的条件，有两个位置，
当圆心A在第一象限时，过A作AC⊥x轴，又|OB|=2，
根据垂径定理得到点C为弦OB的中点，则|OC|=1，由点A在直线y=x上，
得到圆心A的坐标为（1，1），且半径|OA|=

2

，
则圆A的标准方程为：（x-1）²+（y-1）²=2；
当圆心A′在第三象限时，过A′作A′C′⊥x轴，又|OB′|=2，
根据垂径定理得到点C′为弦OB′的中点，则|OC′|=1，由点A′在直线y=x上，
得到圆心A′的坐标为（-1，-1），且半径|OA′|=

2

，
则圆A′的标准方程为：（x+1）²+（y+1）²=2，
综上，满足题意的圆的方程为：（x-1）²+（y-1）²=2或（x+1）²+（y+1）²=2．
故选C

点评：此题考查学生灵活运用垂径定理化简求值，考查了数形结合及分类讨论的数学思想，是一道中档题．需注意的事项是应注意此题有两解，不要遗漏．