Question

已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-,0),(,0),离心率是.直线y=t与椭圆C交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆P,圆心为P.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;

(3)设Q(x,y)是圆P上的动点,当t变化时,求y的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）+y2=1 （2）（0,±） （3）2

【解析】

解:(1)因为=,且c=,

所以a=,b==1.

所以椭圆C的方程为+y2=1.

(2)由题意知P(0,t)(-1<t<1).

由

得x=±.

所以圆P的半径为.

当圆P与x轴相切时,|t|=.

解得t=±.

所以圆心P的坐标是（0,±）.

(3)由(2)知,圆P的方程为x2+(y-t)2=3(1-t2).

因为点Q(x,y)在圆P上,

所以y=t±≤t+.

设t=cos θ,θ∈(0,π),

则t+=cos θ+sin θ=2sin（θ+）.

当θ=,即t=,且x=0时,y取最大值2.