Question

已知圆心为P的动圆与直线y=﹣2相切，且与定圆x²+（y﹣1）²=1内切，记点P的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）设斜率为的直线与曲线E相切，求此时直线到原点的距离．

Answer 1

考点：

轨迹方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．

专题：

圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

（1）利用直线与圆相切的性质、两圆相内切的性质及抛物线的定义即可得出；

（2）利用导数的几何意义、直线的点斜式、点到直线的距离公式即可得出．

解答：

解：（1）设圆心P（x，y），∵圆P与直线y=﹣2相切，∴圆P的半径R=|y+2|．

又∵原P与定圆x²+（y﹣1）²=1内切，

∴|y+2|﹣1=}FP|，∴|y+1|=|FP|，

∴点P到定直线y=﹣1与到定点F（0，1）的距离相等，

∴点P的轨迹是抛物线x²=4y．即曲线E的方程为x²=4y．

（2）设斜率为的直线与曲线E相切于点M（x₀，y₀）．

由曲线E的方程为x²=4y，∴，∴切线的斜率为，

∴，即，∴=8，

∴切点为．

∴切线方程为，化为．

∴原点到此切线的距离d==．

点评：

熟练掌握直线与圆相切的性质、两圆相内切的性质及抛物线的定义、导数的几何意义、直线的点斜式、点到直线的距离公式是解题的关键．