Question

已知圆心为P的动圆与直线y=-2相切，且与定圆x²+（y-1）²=1内切，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设斜率为2

2

的直线与曲线E相切，求此时直线到原点的距离．

Answer 1

分析：（1）利用直线与圆相切的性质、两圆相内切的性质及抛物线的定义即可得出；
（2）利用导数的几何意义、直线的点斜式、点到直线的距离公式即可得出．

解答：解：（1）设圆心P（x，y），∵圆P与直线y=-2相切，∴圆P的半径R=|y+2|．
又∵原P与定圆x²+（y-1）²=1内切，
∴|y+2|-1=}FP|，∴|y+1|=|FP|，
∴点P到定直线y=-1与到定点F（0，1）的距离相等，
∴点P的轨迹是抛物线x²=4y．即曲线E的方程为x²=4y．
（2）设斜率为2

2

的直线与曲线E相切于点M（x₀，y₀）．
由曲线E的方程为x²=4y，∴y′=

x

2

，∴切线的斜率为

x0

2

，
∴

x0

2

=2

2

，即x0=4

2

，∴y0=

(4 2 )2

4

=8，
∴切点为(4

2

，8)．
∴切线方程为y-8=2

2

(x-4

2

)，化为2

2

x-y-8=0．
∴原点到此切线的距离d=

|0-0-8|

(2 2 )2+(-1)2

=

8

3

．

点评：熟练掌握直线与圆相切的性质、两圆相内切的性质及抛物线的定义、导数的几何意义、直线的点斜式、点到直线的距离公式是解题的关键．