Question

已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁、A₂，点M是椭圆上异于A₁、A₂的任意一点，设直线MA₁、MA₂的斜率分别为、，证明为定值；
（Ⅲ）设椭圆方程，A₁、A₂为长轴两个端点，M为椭圆上异于A₁、A₂的点，、分别为直线MA₁、MA₂的斜率，利用上面（Ⅱ）的结论得=______（只需直接填入结果即可，不必写出推理过程）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由离心率，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切，知b=，，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由椭圆方程得，，设M点坐标（x_o，y_o），则，由此能证明是定值．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论得．
解答：解：（Ⅰ）∵离心率，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切，
∴b=，，
∴，
∴椭圆方程
（Ⅱ）证明：由椭圆方程得，
设M点坐标（x_o，y_o）
则，
，，
∴
∴是定值
（Ⅲ）=-．
点评：本题考查椭圆方程的求法，证明为定值．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．