Question

若（a-

1

4

x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，其中

a2

a3

=

3

4

；
（1）求实数a的值；
（2）求（a₀+2²a₂+2⁴a₄+…+2¹⁰a₁₀）²-（2a₁+2³a₃+2⁵a₅+…+2⁹a₉）²的值．

Answer 1

分析：（1）根据二项式定理可知，a₂和a₃是x²和x³的系数，然后根据二项展开式的通项公式即可得a₂和a₃，从而根据

a2

a3

=

3

4

列出等式，求解即可得到a的值．
（2）令x=2和x=-2，令A₀=a₀+2²a₂+2⁴a₄+…+2¹⁰a₁₀，A₁=2a₁+2³a₃+2⁵a₅+…+2⁹a₉，从而可以得到A₀+A₁=0，A₀-A₁=1，即可利用平方差公式求得答案．

解答：解：（1）∵二项展开式的通项公式为ar=Tr+1=

C

r 10

a10-r(-

1

4

x)r，
∴

a2

a3

=

C 2 10 a8(- 1 4 )2

C 3 10 a7(- 1 4 )3

=-

3

2

a=-

3

4

，
∴a=

1

2

，
（2）令x=2，得：a0+2a1+22a2+23a3+…+210a10=0，
令x=-2，得：a0-2a1+22a2-23a3+…+210a10=1，
设A0=a0+22a2+…+210a10，A1=a1+23a3+…+29a9，
则A₀+A₁=0，A₀-A₁=1，
∴

A

2 0

-

A

2 1

=(A0+A1)(A0-A1)=0．

点评：本题主要考查了二项式定理的应用，以及展开式指定项和赋值法的运用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．