Question

已知{a_n}是递减等比数列，a₂=2，a₁+a₃=5，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范围是（　　）

• A、[12，16）
• B、[8，16）
• C、[8，

  32

  3

  )
• D、[

  16

  3

  ，

  32

  3

  )

Answer 1

分析：先根据等比中项性质可知（a₂）²=a₁•a₃=4，进而根据a₁+a₃=5求得a₁和a₃，进而根据q²=

a3

a1

求得q．根据a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1是数列{a_na_n+1}的前n项和，且数列{a_na_n+1}是以8为首项，

1

4

为公比的等比数列．进而可得前n项和的表达式为S_n=

32

3

（1-

1

22n-2

），可知S_n＜

32

3

，由已知{a_n}是递减等比数列可知{S_n}的最大项为S₁，进而得到答案．

解答：解：（a₂）²=a₁•a₃=4，a₁+a₃=5，
∴a₁和a₃是方程x²-5x+4=0的两个根，解得x=1或4
∵{a_n}是递减等比数列，∴a₁＞a₃，
∴a₁=4，a₃=1
∴q²=

a3

a1

=

1

4

∵{a_n}是递减等比数列，∴q＞0
∴q=

1

2

∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=a₁²q+a₁²q³+a₁²q⁵…+a₁²q^2n-1=

8[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

32

3

（1-

1

4n

）＜

32

3

∵{a_n}是递减等比数列，
∴{S_n}的最小项为S₁=8
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范围是[8，

32

3

)
故选C

点评：本题主要考查了等比数列的性质．数列内容高考必考内容之一，选择题主要考查等差、等比数列的性质（尤其是中项公式）、定义，以及前n项和S_n的简单应用．