Question

5．已知如图，在Rt△ABC中，∠A=60°，AB=6，点D、E是斜边AB上两点．
（1）当点D是线段AB靠近A的一个三等点时，求$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CA}$的值；
（2）当点D、E在线段AB上运动时，且∠DCE=30°，设∠ACD=θ，试用θ表示△DCE的面积S，并求S的最小值．

Answer 1

分析 （1）以C为坐标原点建立平面直角坐标系，求出$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{CA}$的坐标带入公式计算；
（2）在△ACD中，由正弦定理得CD的长，在△BCE中，由正弦定理求出CE的长，带入面积公式S=$\frac{1}{2}$CD•CE•sin30°进行三角化简．

解答 解：（1）以CA为x轴，CB为y轴建立平面直角坐标系如图：
∵∠A=60°，AB=6，∠BCA=90°．
∴A（3，0），B（0，3$\sqrt{3}$），C（0，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-3，3$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{CA}$=（3，0）．
∴$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AD}$=（2，$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CA}$=3×2+0×$\sqrt{3}$=6．
（2）在△ACD中，∠ADC=180°-60°-θ=120°-θ，AC=3，
由正弦定理得$\frac{CD}{sin60°}$=$\frac{AC}{sin（120°-θ）}$
∴CD=AC•$\frac{sin60°}{sin（120°-θ）}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}cosθ+sinθ}$．
在△BCE中，∠BCE=90°-30°-θ=60°-θ，
∠BEC=180°-30°-（60°-θ）=90°+θ，BC=3$\sqrt{3}$．
由正弦定理得$\frac{BC}{sin∠BEC}$=$\frac{CE}{sin30°}$，
∴CE=BC•$\frac{sin30°}{sin（90°+θ）}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$．
∴S=$\frac{1}{2}$CD•CE•sin30°=$\frac{27}{8}$•$\frac{1}{\sqrt{3}co{s}^{2}θ+sinθcosθ}$
=$\frac{27}{8}$•$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}cos2θ+\frac{1}{2}sin2θ+\frac{\sqrt{3}}{2}}$
=$\frac{27}{8}$•$\frac{1}{sin（2θ+60°）+\frac{\sqrt{3}}{2}}$．
∵0°≤θ≤60°，
∴60°≤2θ+60°≤180°，
∴0≤sin（2θ+60°）≤1，
∴当sin（2θ+60°）=1时，S取得最小值，最小值为$\frac{54+27\sqrt{3}}{16}$．

点评 本题考查了向量的运算在几何中的应用，建立坐标系是简化计算的主要方法，本题第二问计算稍复杂，属于中档题．