题目内容

已知函数f（x）=x2-2x，g（x）=ax-2a（a∈R）
（1）求不等式f（x）＞g（x）的解集；
（2）若对于任意x＞2均有f（x）＞g（x）-4成立，求实数a的取值范围．
分析：（1）根据f（x）＞g（x），代入解析式化简变形，讨论两个大小，从而得到不等式的解集；
（2）解决含参不等式恒成立问题，常常利用参变量分离，利用基本不等式求函数的最小值，从而求出实数a的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）＞g（x）
∴x2-2x＞ax-2a，整理得x2-（2+a）x+2a＞0
即（x-2）（x-a）＞0
当a＞2时，解集为（-∞，2）∪（a，+∞）
当a=2时，解集为（-∞，2）∪（2，+∞）
当a＜2时，解集为（-∞，a）∪（2，+∞）
（2）由f（x）＞g（x）-4得x2-2x+4＞a（x-2），
∵x＞2
∴x-2＞0，a＜
x2-2x+4
x-2
=x-2+
4
x-2
+2
令h（x）=x-2+
4
x-2
≥4，当且仅当x=4时取等号
∴h（x）的最小值为4，
∴a＜6
点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，函数最值的应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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