题目内容
在△ABC内求一点P,使AP2+
2+
2的值最小.
思路点拨:运用向量来处理,就要把问题用向量表示出来,AP2+2+2可转化为向量模的平方来处理,而模的平方又可转化为数量积,所以可选定一组基底来处理.
解:设
=a,
=b,
=p,则
=p-a,
=p-b,
于是AP2+BP2+CP2=(p-a)2+(p-b)2+p2=3p2-2(a+b)·p+a2+b2=3［p-
(a+b)］2+a2+b2-
(a+b)2,
∴当p=
(a+b)时,
2+
2+
2取最小值.记D为
的中点,则a+b=2
,于是
=
,
∴C、P、D三点共线且P点是△ABC的重心时,
2+
2+
2取最小值,即AP2+BP2+CP2的值最小.
［一通百通］此类题目主要考查向量法处理平面几何问题,关键是如何用向量表示出几何元素,然后通过向量的运算得出向量关系,再转化为几何问题.此题实质上是把三角形两边表示的向量作一组基底来处理.用向量法处理几何问题还可以用坐标法.
练习册系列答案
全能测控期末小状元系列答案
相关题目
的值最小．
＋
＋
的值最小．
的值最小．
最小，并求出最小值．