Question

(21)已知函数,设曲线在点(x_n,f(x_n))处的切线与x轴的交点(x_n+1,0)(x∈N*)其中x为正实数

(Ⅰ)用x_n表示x_n+1

(Ⅱ)求证：对一切正整数n，的充要条件是；

（Ⅲ）若x₁=4，记，证明数列｛a_n｝成等比数列，并求数列｛a_n｝的通项公式。

Answer 1

本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力。

解：（Ⅰ）由题可得

所以过曲线上点的切线方程为，

即

令，得，即

显然 ∴

（Ⅱ）证明：（必要性）

若对一切正整数，则，即，而，∴，即有

（充分性）若，由

用数学归纳法易得，从而，即

又 ∴

于是，

即对一切正整数成立

（Ⅲ）由，知，同理，

故

从而，即

所以，数列成等比数列，故，

即，从而

所以