Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD= AC=2，∠ACB=∠ACD= ．
（1）证明：AP⊥BD；
（2）若AP= ，AP与BC所成角的余弦值为 ，求二面角A﹣BP﹣C的余弦值．．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠ACB=∠ACD= ，BC=CD．∴BD⊥AC．

∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，

∴BD⊥平面PAC，

∴BD⊥AP

（2）解：连接BD与AC相交于点E，

∵BC=CD= ，∠ACB=∠ACD= ．

则BD⊥AC，

又BD⊥平面PAC，分别以EB，EC为x，y轴，过点E与平面ABCD垂直的直线为z轴，则z轴平面APC．

可得B（ ，0，0），C（0，1，0），A（0，﹣3，0），设P（0，y， ），

=（﹣ ，1，0）， =（0，y+3， ）．

∵AP与BC所成的余弦值为 ，

∴ = = = ，﹣3≤y≤0，解得y=﹣1．

∴P（0，﹣1， ），

∴ =（﹣ ，﹣1， ）， =（ ，3，0），

设平面ABP的法向量为 =（x，y，z），

则 ，∴ ，

取 = ．

同理可得：平面BPC的法向量 = ．

∴ = = = ．

∵二面角A﹣BP﹣C的平面角为钝角，

∴二面角A﹣BP﹣C的余弦值为- ．

【解析】（1）由∠ACB=∠ACD= ，BC=CD．可得BD⊥AC．再利用面面垂直的性质可得BD⊥平面PAC，即可证明．（2）连接BD与AC相交于点E，由于BC=CD= ，∠ACB=∠ACD= ．可得BD⊥AC，又BD⊥平面PAC，分别以EB，EC为x，y轴，过点E与平面ABCD垂直的直线为z轴，则z轴平面APC．设P（0，y， ），由于AP与BC所成的余弦值为 ，可得 = = ，﹣3≤y≤0，解得y．可得P坐标，设平面ABP的法向量为 =（x，y，z），利用 ，可得 ，同理可得平面BPC的法向量 ，利用 = 即可得出．