Question

定义域为正整数集N₊的函数f（x）=[log₂x]，其中[log₂x]表示数值不超过去时log₂x的最大整数．
（1）求f（3）的值；
（2）若f（x）=3，求x的取值集合；
（3）对于任意正整数n，求和：

C

f(1) n

+

C

f(2) n

+

C

f(3) n

+…+

C

f(2n) n

．

Answer 1

分析：（1）由log₂3∈（1，2）可知f（3）=[log₂3]=1；
（2））[log₂x]=3⇒3≤log₂x＜4，从而可求正整数x的取值集合；
（3）依题意可知，f（2^n-1）=f（2^n-1+1）=…=f（2^n-1+2^n-1-1）=n-1（n≥1），从而可得

2n

k=1

C

f(k) n

=

C

0 n

+2

C

1 n

+2²

C

2 n

+…+2^n-1

C

n-1 n

+1，逆用二项式定理及可求得答案．

解答：解：（1）∵1=log₂2＜log₂3＜log₂4=2，
∴f（3）=[log₂3]=1；
（2）∵[log₂x]=3，
∴3≤log₂x＜4，
∴8≤x＜16，x∈N₊，
∴x的取值集合是{8，9，10，11，12，13，14，15}；
（3）∵f（1）=0，
f（2）=f（3）=1，
f（4）=f（5）=f（6）=f（7）=2，
…
f（2^n-1）=f（2^n-1+1）=…=f（2^n-1+2^n-1-1）=n-1，
f（2ⁿ）=n，
∴

2n

k=1

C

f(k) n

=

C

0 n

+2

C

1 n

+2²

C

2 n

+…+2^n-1

C

n-1 n

+1
=

C

0 n

+2

C

1 n

+2²

C

2 n

+…+2^n-1

C

n-1 n

+2ⁿ

C

n n

+1-2ⁿ
=（1+2）ⁿ-2ⁿ+1
=3ⁿ-2ⁿ+1．

点评：本题考查二项式定理的应用，（3）中分析得到f（2^n-1）=f（2^n-1+1）=…=f（2^n-1+2^n-1-1）=n-1是关键，也是难点，突出考查逆向思维与抽象思维能力，属于难题．